从字符串的相等前后缀建立边界与失配递推，依次训练前缀出现次数统计和多段字符串接续，配有独立内容验收与状态图衔接挑战。

从相对状态出发推导异或势能并查集，处理关系一致性、区间记录、自由分量计数和二元代价。两阶段各一道练习，另设独立内容验收与入课能力挑战。

CSP-J 模板训练总课程，按数组区间与单调性、线性结构与搜索、数论进制与高精度、基础动态规划依次学习。现有40道练习、13个阶段，配套完整讲义与独立内容验收。第四批覆盖递推、最大子段和、四类背包、组合与序列计数、最长上升子序列和相邻合并；每个阶段先读推导与反例，再完成练习。

五道练习依次训练树上路径的位置定位、有序补给摘要的方向拼接、两条路径日志的公共前缀比较、路径指令的有序变换，以及有限缓存的访问统计。保留原有倍增基础与储备推导，补充确定性块编号、路径方向和日志比较练习；讲义配有证明、反例与自测，完整程序与详细解答见各题题解。

本课程按笔记章节整理了 141 道独立练习，分为 12 个练习阶段，另配 4 道独立验收题。建议先完成基础语法与基础算法，再按需要选练后续专题。 [进入章节练习](https://dtoj.team/training/6adc06cdb3d1fa36d64d73ac?view=practice) · [参加验收挑战](https://dtoj.team/contest/6adc0a5ab3d1fa36d64d743e)

从最大公约数推导线性同余的存在条件，用“余数与周期”表示全部解，再将非互质条件合并为可查询的解集。本课把单式求解、有限范围压缩和消去公共未知量组织为三个连续阶段。 > 课程包含七道编程练习、完整学生讲义、配套随堂练习，以及一场使用独立题目的三小时验收挑战。 ## 学习安排 | 阶段 | 练习 | 要完成的推导 | | --- | --- | --- | | 线性同余与有限区间 | [步进刻度](https://dtoj.team/p/3765) | 从整除条件得到全部解与闭区间计数 | | 非互质条件合并 | [共同报时](https://dtoj.team/p/3773) | 证明兼容条件、新周期与范围压缩的不变量 | | 消去公共未知量 | [一致校准](https://dtoj.team/p/3774) | 用差分消去未知读数，再建立必要且充分的条件 | 第一阶段另有两道拓展练习：用最大公约数分析循环轨道的可达位置，再用欧拉函数统计步长；把两种规格的装箱方案写成有界二元一次方程，并用线性同余和区间交集计数。两题分别配有补充讲义。 需要掌握整除、最大公约数、递归和整数取模。扩展欧几里得和同余合并在讲义中推导；挑战的加强题还会使用排列分环与字符串前缀函数，讲义补充了所需的周期性质和回退方法。 按阶段阅读讲义、完成随堂练习并提交编程题。能独立证明解集没有遗漏，并解释模数为一、零系数、无解和周期超出查询范围的处理后，可进入[配套验收挑战](https://dtoj.team/contest/6adbb7d7c3401305db78023f)。 课程练习与挑战使用独立题目。挑战采用 OI 计分，三题各一百分，个人作答时间三小时，使用标准输入输出；开放期间按自己的时间参加，具体截止时间见比赛页。 ## 材料 学生附件提供可打印讲义和题面样例。在线讲义位于本课程的讲义入口，数学、代码与练习可直接阅读；教师保留随堂练习答案、逐题解答、标程和完整题包。 本批补充练习：第二阶段增加反射观测，第三阶段增加读数限窗；对应推导与自测见讲义末尾。

保留原有线性同余与非互质周期合并训练，补充撤下一条周期条件后的区间解数最大化。练习空条件与矛盾状态的区分、前后两侧约束的恢复，以及有限窗口中数量与相位的比较；完整程序、证明与边界检查见本题题解。

保留原有线性同余、非互质周期合并及计数维护讲义，补充相容连续窗口计数。练习有限时间区间内的公共解判定、合法左端点的单调性，以及没有逆运算时的双栈摘要恢复；完整程序和证明见本题题解。

四章四道训练题，从事件边界、候选分组、树形接口与约束分层出发，推导充分状态、合并规则和转移组织。配套完整讲义、逐题解答与独立四题验收挑战赛。

课程资料准备中。

保留原有状态充分性、持续类别与辅助点共享训练，补充具有有限电量的巡检路径选择。练习区分两个优化目标，证明状态与原操作的对应关系，并在主目标的最短路紧边中比较行驶次数；完整程序、证明与边界检查见本题题解。

课程设四章、四道练习，围绕事件扫描、单调栈分组、联合状态的函数复合、时间分治与回滚展开推导和实现。附录补充幂次摘要与二元线性基础，配套独立四题验收挑战。进入“讲义”查看导学、挑战赛入口，以及学生讲义和完整题解 PDF。